Al hilo de la Teoría Cuántica de Campos Topológica, para los no iniciados les puede ser de interés y facilitar la comprensión de dicha teoría las explicaciones insertas entre las ideas introductorias que emanan de las mismas en esta entrada, aunque no es la pretensión ni misión principial de esta publicación. De todas formas, para empezar a conocer esta teoría de forma amena y divulgativa, he insertado una referencia al respecto al pie de este artículo.
Esta disertación, pretende suscitar el deseo de profundizar en la intrigante sospecha de que algunas relaciones interesantes entre el toro y la esfera han pasado desapercibidas y se deberían formalizar. Por ejemplo, comenzando con la topología entre ellas, si la suma conexa de dos toros es un 2-toro, para la suma conexa podría existir una operación inversa, es decir, la resta conexa de dos toros es una esfera, siendo conocido que ésta es el neutro de la suma conexa. Junto con el vídeo anexo a este artículo, que recomiendo visionar al finalizar este párrafo, y con el trasfondo de lo factible y de lo posible en este nuestro Universo, aumentan mis sospechas de que aunque no son homeomorfas, pero casi, algun nuevo morfismo debería definir la relación topológica entre toro y esfera como parte de un mismo grupo, por supuesto diferente al fundamental de una variedad. Cuanto más lo pienso más ideas me asaltan....
Una de ellas es el de las geodésicas del toro y la esfera con las líneas de flujo asociadas a los campos. La ortogonalidad de las geodésicas cuando pasa de toro a esfera y viceversa, que se observa en el vídeo, me recuerdan a los autovectores de la teoría de campos, esto es, a la simetría del operador hermítico, y por ende a las matrices de densidad compuesta por los vectores de estado. Una correspondencia entre campos fundamentales a través de la topología de sus líneas de campo conformando toros y esferas. Pitágoras y su concepción de que el Universo es Geometría sobrevuelan esta idea.
Además, al respecto de las formas cosmológicas ideales macroscópicas que observamos en el Universo (estrellas, planetas, galaxias, agujeros negros, la propia forma del universo, etc.) son homeomorfas a esferas y toros fundamentalmente, lo cual es más inquietante aún si se relaciona con la realidad de la ortogonalidad, que bien podrían ser representados topológicamente por el toro y la esfera.
Además, al respecto de las formas cosmológicas ideales macroscópicas que observamos en el Universo (estrellas, planetas, galaxias, agujeros negros, la propia forma del universo, etc.) son homeomorfas a esferas y toros fundamentalmente, lo cual es más inquietante aún si se relaciona con la realidad de la ortogonalidad, que bien podrían ser representados topológicamente por el toro y la esfera.
Esta idea, sin aparente relación hasta ahora con el tema, apareció en un debate acerca de la realidad y el principio de superposición cúantico sin simultaneidad, donde se apuntó que podía provenir de estados ortogonales. Quizá, ahí haya otra conexión profunda con la realidad y la topología del toro y la esfera.
La interpretación de Copenhague acerca de la mecánica cuántica, concretamente define "ad hoc" al principio de superposición cuántico con simultáneidad. Sin considerar la formalidad de la teoría cuántica de campos topologica, se podría realizar la siguiente "conjetura de la superposición homeomorfa": los estados se representan por superfícies homeomorfas exclusivamente. Puede que la simultaneidad no existiera en realidad y sólo sea un ardiz conveniente para calcular, porque lógicamente es contradictorio, a parte de radicalmente contraintuitivo, e incluso topológicamente inviable si no se cumpliese la conjetura y las formas de esos estados superpuestos fueran dimeomórficas.
Evidentemente, si se consiguiese demostrar algún nuevo morfismo que relacionase esfera y toro, entonces se podría confirmar desde la "conjetura homeomorfa", el principio de superposición simultáneo, propuesto por Bohr y sus acólitos, que tan bien predice los eventos observados y comprobados experimentalemente en la Naturaleza. Incluso, se podría describir topológicamente esta interpretación, hasta el momento sin una convincente explicación para nuestra intuición, ni para la lógica formal actual. Sería otro aliciente para definir y formalizar unos nuevos morfismos, en este caso con implicación topológica, que describiesen y predijiesen con mayor precisión la Naturaleza que observamos y comprobamos empíricamente. Consecuentemente evolucionar y/o adaptar la lógica actual a una "nueva lógica" generalizada más cercana a la realidad natural a través de las afirmaciones empíricas.
La interpretación de Copenhague acerca de la mecánica cuántica, concretamente define "ad hoc" al principio de superposición cuántico con simultáneidad. Sin considerar la formalidad de la teoría cuántica de campos topologica, se podría realizar la siguiente "conjetura de la superposición homeomorfa": los estados se representan por superfícies homeomorfas exclusivamente. Puede que la simultaneidad no existiera en realidad y sólo sea un ardiz conveniente para calcular, porque lógicamente es contradictorio, a parte de radicalmente contraintuitivo, e incluso topológicamente inviable si no se cumpliese la conjetura y las formas de esos estados superpuestos fueran dimeomórficas.
Evidentemente, si se consiguiese demostrar algún nuevo morfismo que relacionase esfera y toro, entonces se podría confirmar desde la "conjetura homeomorfa", el principio de superposición simultáneo, propuesto por Bohr y sus acólitos, que tan bien predice los eventos observados y comprobados experimentalemente en la Naturaleza. Incluso, se podría describir topológicamente esta interpretación, hasta el momento sin una convincente explicación para nuestra intuición, ni para la lógica formal actual. Sería otro aliciente para definir y formalizar unos nuevos morfismos, en este caso con implicación topológica, que describiesen y predijiesen con mayor precisión la Naturaleza que observamos y comprobamos empíricamente. Consecuentemente evolucionar y/o adaptar la lógica actual a una "nueva lógica" generalizada más cercana a la realidad natural a través de las afirmaciones empíricas.
En conclusión, quizá la esfera y el toro pertenezcan a un nuevo grupo de morfismos porque puede que la conexión profunda con la Naturaleza resida en la ortogonalidad. Por ejemplo, ésta es observada en los campos eléctrico y magnético, o en la gravedad y, elucubrando, con el campo repulsivo que acelera la expansión universal (no sabemos que es, pero por analogía podríamos concluir que debería ser topologicamente homeomorfo a un toro, sino es que es de forma tórica y/o toroide exactamente, al ser el campo gravitatorio esférico).
Desde el punto de vista matemático, estas teorías cuanticas se desarrollan sobre un espacio de Hilbert (soméramente hablando es una generalización n-dimensional del espacio euclídeo) con un álgebra abstracta de Lie. La teoría de conjuntos es también fundamental para esta teoría de la topología cuántica de campos, donde la aplicación lineal y unitaria tiene correspondencia con la variedad topológica tomada en cada posible forma entre los estados inicial y final, cambiando la aplicación según al conjunto al que pertenece cada variedad coborde.
Según la teoría de categorías, el functor que identifica el cobordismo, o su composición, con los operadores unitarios entre los espacios definidos de Hilbert sobre las variedades frontera del cobordismo, relaciona estas distintas estructuras matematicas y sus posibles aplicaciones entre sí. Así, los vectores de estado definidos sobre los espacios de Hilbert están íntima y profundamente relacionados con la topología, en la frontera entre las matemáticas y la física, y con el álgebra abstracta subyacente.
La Naturaleza parece mostrarnos dos grupos dimeomórficos, que deben existir necesariamente para conformar la realidad en la que vivimos. Sin embargo, estos dos conjuntos son "cuasi-homeomorfos", lo cual no es sorprendente si tomamos en cuenta que el infinito, el límite y la tendencia son conceptos intrínsecos a este Universo. Quizá, nos esté sugiriendo un nuevo morfismo natural, pero este "supramorfismo", merece una entrada por sí mismo, que dejaré pendiente para el próximo futuro.
Por otro lado, entrando en el llamado "problema de la medición" se requiere la interacción de, al menos, dos partículas para poder realizar medición. La Relación de Heisenberg codifica el límite de esa medición entre dos parámetros físcos conjugados. De forma similar, llevada al límite la transformación "quasi-homeomorfa" entre toro y esfera sucede que nunca serán homeomorfos, al igual que nunca conoceremos con exactitud absoluta la posición y velocidad, por ejemplo de un fotón, por mucho que precisemos uno de los parámetros. Quizá por ello, se necesiten dos variedades de campos en la Naturaleza también, y por lo tanto no se puedan unificar en una sóla como postula la teoría de la Gran Unficación. A no ser que encontremos una relación más profunda con una nueva manera de relacionarlos, ¿gravedad cuántica?, comprobada la dificultad teórica de combinar el campo gravitatorio (campo esférico) con los otros tres del Modelo Estándar (campos tóricos). En definitiva, muchas implicaciones profundas en este debate topológico, más allá de las propias formas y posiciones. La Dualidad de la Naturaleza omnipresente en cualquier aspecto de la misma.
Por ultimo, la conexión de estos dos grupos dimeomórficos con la teoría de números, y concretamente con algunos números recurrentes en la Naturaleza, como "e", pi y/o phi, podría explicarse su omnipresencia en la misma por esta conexión topológica profunda. A día de hoy nadie sabe por qué estos números son tan "naturales". Es una pregunta que me hago desde hace tiempo y que daría para redactar otra entrada, pero es que al final parece que todo está y debe estar conectado. Por ejemplo, para las variedades cerradas, como el toro, el género es la unidad y la característica de Euler coincide con el número de Euler "e", es decir, la clase de Euler de su fibrado tangente evaluado en la clase fundamental de la variedad. Otro ejemplo, lo podemos ver en el vídeo del toro aúreo al final de este escrito.
Una interesante relexión acerca del campo electromagnético y su topología:
Cuando el campo eléctrico es estático, las cargas no se mueven por definición. En una variedad n-1 dimensional sobre un espacio de Hilbert las cargas generan unas líneas de campo radiales en 3D conformando una esfera con centro la carga puntual y el campo magnético es nulo. Pero, en el instante que las cargas comienzan a moverse, en ese preciso momento aparece el campo magnético, y se mantiene en el intervalo en el que aceleran o deceleran por así decirlo simplificadamente (tal y como el gran físico experimental, Sr. Faraday, observó en su experimento de un circuito con bobinas mientras encendía o cortaba la corriente eléctrica circulante). Cuando los electrones se mueven linealmente por el circuito entonces la sucesión de esferas se convierten en un cilindro y el campo es radial, pero cilíndrica la variedad entre los dos estados inicial y final con una transformación lineal y unitaria, que en este caso es la matriz identidad.
Casualidad o no, el campo magnético que aparece por ese cambio en el movimiento de los electrones es también de forma cilíndrica y rotatorio orientado según la regla del sacacorchos o de la mano derecha. Son dos cilindros con eje el cable del circuito. Uno, el campo eléctrico, que ocupa el volumen del cilindro o la sección circular del mismo en cada instante ortogonal al eje y otro, el campo magnético, que lo envuelve en la superficie de dicho cilindro, o en la circunferencia de la sección ortogonal al eje en cada instante. Dos caras de una misma moneda en movimiento lineal y angular, campos eléctrico y magnético respectivamente. Una correspondencia que aparece entre topología, campos y movimientos-energía-fuerzas, sección y borde; punto, línea, superficie y volumen -centro, círcunferencia, círculo y cilindro-, correspondientemente, cuatro "ces" de la geometría básica y el álgebra representando a las dimensiones 0, 1, 2 y 3D respectivamente. Una vez más física y matemáticas relacionados muy profundamente. Operadores rotacional y divergente en conexión topológica, geométrica y espacial-dimensional.
También, es curioso observar que el campo magnético generado por un imán tiene forma tórica, la cual es homeomorfa al cilindro. Como bien es conocido, las llamadas "cargas magnéticas" no se han podido comprobar empíricamente, es decir, la existencia física de monopolos magnéticos en la Naturaleza hasta la fecha, aunque sí están predichos teóricamente según la teoría del genial Paul Dirac. De probarse experimentalmente su existencia, entre otras maravillas, resultaría una simetría perfecta en las elegantes ecuaciones de Maxwell, embelleciéndolas aún más si cabe, lo cual siempre es un incentivo por el gusto de la Naturaleza por las simetrías, esto es, los invariantes que nos simplifican ciertos cálculos complejos, acentuado por la percepción humana de la armonía resultnate de la simetría. Sin embargo, las cargas eléctricas sí que son monopolos físicos y por lo tanto, cuando están aisladas y estáticas, sus líneas de campo son radiales, extendiendose en todas direcciones con centro la carga puntual o polo conformando un campo de forma esférica.
En conclusión, si se comprobasen empíricamente los monopolos magnéticos, también se produciría una perfecta "simetría" topológica entre cargas eléctricas y magnéticas considerando las líneas de campo generadas por ellas cuando estuvieran en forma de monopolo. Lo cual nos volvería a asombrar la precisión y belleza de las matemáticas, en este caso la rama topológica, prediciendo la física de la Naturaleza. La totipotencia de la "Dualidad Físico-Matemática de la Naturaleza".
Vídeos:
- Toro y esfera (animación realizada por el Sr. Johney Díaz Martínez).
https://m.facebook.com/story.php?story_fbid=761957553827551&id=100000399401817
- Toro aúreo
https://www.youtube.com/watch?v=EdDrVYpP_Co
Referencia:
www.imus.us.es/blogdim/?p=36
Vídeos:
- Toro y esfera (animación realizada por el Sr. Johney Díaz Martínez).
https://m.facebook.com/story.php?story_fbid=761957553827551&id=100000399401817
- Toro aúreo
https://www.youtube.com/watch?v=EdDrVYpP_Co
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www.imus.us.es/blogdim/?p=36
